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问题引导的代数学: 线性变换 V

发布时间:2020-11-14 12:35    点击次数:65次   

  多项式矩阵在一些书上是一章内容, 我把它整理成一节, 不过又增加了不少内容, 从中隐约能看到与主理想整环的模的关系, 因此有一些难度. 不过, 把这些内容想明白的话, 会对整体内容有不一样的理解. 我不知道是谁最早想到用多项式矩阵的相抵来判断矩阵的相似的, 这个想法非常神奇.

  这个例子启发我们, 不同的 Jordan 标准形的特征矩阵的标准形不一样! 当然, 我们需要验证一般的情形.

  这里, (3) 与 (1), (2) 的等价性暂时不能证明, 我们先默认它, 或者把 (3) 作为可逆的定义.

  因此, 从带余除法和 Bezout 定理可以得到同样的结论. 当然, 由带余除法可以推出 Bezout 定理, 不过, 我们以后会发现, 后者比前者要弱. 因此, 如果在某个数学环境中没有带余除法, 我们可以用 Bezout 定理替代.这实际上就是抽象代数课程中环论一章的 Euclid 环和主理想整环的区别.

  这启发我们猜想代数数和、差、积、商也是代数数, 而代数整数的和、差、积都是代数整数. 用矩阵特征值的观点, 我们就需要解决一些矩阵的特征值的和、差、积、商是不是另一个矩阵的特征值这个关键问题.

  (4) 证明: 两个有理方阵(或整数方阵)的复特征值的和与积也是某个有理方阵(或整数方阵)的复特征值. 由此证明: 代数数的全体构成数域, 代数整数的全体在数的加法、减法和乘法下封闭.

  当然, 问题 (2) 可以从 Jordan 标准形或 Frobenius 标准形看出来. 不过, 标准形方法有时会掩盖一些有趣的东西.


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